7.7 행렬식. Cramer의 법칙

예제 2 3차 행렬식의 전개

행렬 $A$

A=matrix(QQ,3,3,[[1,3,0],[2,6,4],[-1,0,2]]) print "A =" show(A)

A =
 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 2 & 6 & 4 \\ -1 & 0 & 2 \end{array}\right)$

A =

소행렬 $A_{11}$과 그 행렬식 $M_{11} = \det A_{11}$.

A11=A[1:3,1:3] print "A11 =" show(A11) print "M11 = det(A11) =", A11.det()

A11 =
 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rr} 6 & 4 \\ 0 & 2 \end{array}\right)$ 
M11 = det(A11) = 12

A11 =

M11 = det(A11) = 12

소행렬 $A_{12}$과 그 행렬식 $M_{12} = \det A_{12}$.

A12=A[1:3,0:3:2] print "A12 =" show(A12) print "M12 = det(A12) =", A12.det()

A12 =
 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rr} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{array}\right)$ 
M12 = det(A12) = 8

A12 =

M12 = det(A12) = 8

소행렬 $A_{13}$과 그 행렬식 $M_{13} = \det A_{13}$.

A13=A[1:3,0:2] print "A13 =" show(A13) print "M13 = det(A13)=", A13.det()

A13 =
 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rr} 2 & 6 \\ -1 & 0 \end{array}\right)$ 
M13 = det(A13)= 6

A13 =

M13 = det(A13)= 6

행렬식 $D = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}$.

D=A[0,0]*A11.det()-A[0,1]*A12.det()+A[0,2]*A13.det() print "det(A)=",D

det(A)= -12

det(A)= -12

내장함수를 이용하여 행렬식 $\det A$ 계산.

print "det(A) =", A.det()

det(A) = -12

det(A) = -12

예제 3 삼각행렬의 행렬식

행렬 $A$

A=matrix(QQ,3,3,[[-3,0,0],[6,4,0],[-1,2,5]]) print "A =" show(A)

A =
 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr} -3 & 0 & 0 \\ 6 & 4 & 0 \\ -1 & 2 & 5 \end{array}\right)$

A =

주대각선 성분들의 곱 $\det A = -3 \times 4 \times 5 = -60$. $\Rightarrow$ 내장함수를 이용하여 행렬식 $\det A$ 계산한 것과 일치한다.

print "det(A) =", A.det()

det(A) = -60

det(A) = -60

예제 4 삼각형 형태로 만들어의 행렬식 계산

행렬 $A$

A=matrix(RDF,4,4,[[2,0,-4,6],[4,5,1,0],[0,2,6,-1],[-3,8,9,1]]) print "A =" show(A)

A =
 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrrr} 2.0 & 0.0 & -4.0 & 6.0 \\ 4.0 & 5.0 & 1.0 & 0.0 \\ 0.0 & 2.0 & 6.0 & -1.0 \\ -3.0 & 8.0 & 9.0 & 1.0 \end{array}\right)$

A =

내장함수를 이용하여 행렬식 $\det A$를 계산.

print "det(A) =", A.det()

det(A) = 1134.0

det(A) = 1134.0

Gauss 소거법과 행렬식의 관계

1단계. 첫 번째 행의 주축 아래를 $0$으로 만든다.

$$R_2 -2 R_1$$

$$ R_4 + 1.5 R_1$$

A.add_multiple_of_row(1,0,-2) A.add_multiple_of_row(3,0,1.5) print "E1 =" show(A)

E1 =
 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrrr} 2.0 & 0.0 & -4.0 & 6.0 \\ 0.0 & 5.0 & 9.0 & -12.0 \\ 0.0 & 2.0 & 6.0 & -1.0 \\ 0.0 & 8.0 & 3.0 & 10.0 \end{array}\right)$

E1 =

행렬식 $\det E_1$을 계산.

print "det(E1) =", A.det()

det(E1) = 1134.0

det(E1) = 1134.0

2단계. 두 번째 행의 주축 아래를 $0$으로 만든다.

$$ R_3 - 0.4 R_2$$

$$ R_4 - 1.6 R_2$$

A.add_multiple_of_row(2,1,-0.4) A.add_multiple_of_row(3,1,-1.6) print "E2=" show(A)

E2=
 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrrr} 2.0 & 0.0 & -4.0 & 6.0 \\ 0.0 & 5.0 & 9.0 & -12.0 \\ 0.0 & 0.0 & 2.4 & 3.8 \\ 0.0 & 0.0 & -11.4 & 29.2 \end{array}\right)$

E2=

행렬식 $\det E_2$를 계산.

print "det(E2) =", A.det()

det(E2) = 1134.0

det(E2) = 1134.0

3단계. 세 번째 행의 주축 아래를 $0$으로 만든다.

$$ R_4 + 4.75R_3$$

A.add_multiple_of_row(3,2,4.75) print "E3=" show(A)

E3=
 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrrr} 2.0 & 0.0 & -4.0 & 6.0 \\ 0.0 & 5.0 & 9.0 & -12.0 \\ 0.0 & 0.0 & 2.4 & 3.8 \\ 0.0 & 0.0 & 0.0 & 47.25 \end{array}\right)$

E3=

행렬식 $\det E_3$를 계산.

$\Rightarrow$ 주대각선 성분들의 곱과 일치 $\det E_3 = 2.0 \times 5.0 \times 2.4 \times 47.25 = 1134.0$

$\Rightarrow$ 내장함수를 이용하여 행렬식 $\det A$를 계산한 것과 일치한다.

print "det(E3) =", A.det()

det(E3) = 1134.0

det(E3) = 1134.0

추가예제 1 두 행을 바꾸는 기본행연산과 행렬식

에제 3번의 행렬 $A$ $\Rightarrow$ $\det A = -60$

A=matrix(QQ,3,3,[[-3,0,0],[6,4,0],[-1,2,5]]) print "A =" show(A)

A =
 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr} -3 & 0 & 0 \\ 6 & 4 & 0 \\ -1 & 2 & 5 \end{array}\right)$

A =

1행과 3행의 순서를 교환한다.

$$ R_1 \leftrightarrow R_3$$

A.swap_rows(0,2) print "E =" show(A)

E =
 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 5 \\ 6 & 4 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \end{array}\right)$

E =

행렬식 $\det E$를 계산.

print "det(E) =", A.det()

det(E) = 60

det(E) = 60

추가예제 2 한 행에 0 아닌 상수를 곱하는 바꾸는 기본행연산과 행렬식

에제 3번의 행렬 $A$ $\Rightarrow$ $\det A = -60$

A=matrix(QQ,3,3,[[-3,0,0],[6,4,0],[-1,2,5]]) print "A =" show(A)

A =
 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr} -3 & 0 & 0 \\ 6 & 4 & 0 \\ -1 & 2 & 5 \end{array}\right)$

A =

1행에 -3을 곱한다.

$$ (-3)R_1$$

A.rescale_row(0,-3) print "E =" show(A)

E =
 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr} 9 & 0 & 0 \\ 6 & 4 & 0 \\ -1 & 2 & 5 \end{array}\right)$

E =

행렬식 $\det E$를 계산.

print "det(E) =", A.det()

det(E) = 180

det(E) = 180

7.7 행렬식. Cramer의 법칙

24 days 전, namy0727 작성

7.7 행렬식. Cramer의 법칙

예제 2 3차 행렬식의 전개

행렬 $A$

소행렬 $A_{11}$과 그 행렬식 $M_{11} = \det A_{11}$.

소행렬 $A_{12}$과 그 행렬식 $M_{12} = \det A_{12}$.

소행렬 $A_{13}$과 그 행렬식 $M_{13} = \det A_{13}$.

행렬식 $D = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}$.

내장함수를 이용하여 행렬식 $\det A$ 계산.

예제 3 삼각행렬의 행렬식

행렬 $A$

주대각선 성분들의 곱 $\det A = -3 \times 4 \times 5 = -60$. $\Rightarrow$ 내장함수를 이용하여 행렬식 $\det A$ 계산한 것과 일치한다.

예제 4 삼각형 형태로 만들어의 행렬식 계산

행렬 $A$

내장함수를 이용하여 행렬식 $\det A$를 계산.

Gauss 소거법과 행렬식의 관계

1단계. 첫 번째 행의 주축 아래를 $0$으로 만든다.

$$R_2 -2 R_1$$

$$ R_4 + 1.5 R_1$$

행렬식 $\det E_1$을 계산.

2단계. 두 번째 행의 주축 아래를 $0$으로 만든다.

$$ R_3 - 0.4 R_2$$

$$ R_4 - 1.6 R_2$$

행렬식 $\det E_2$를 계산.

3단계. 세 번째 행의 주축 아래를 $0$으로 만든다.

$$ R_4 + 4.75R_3$$

행렬식 $\det E_3$를 계산.

$\Rightarrow$ 주대각선 성분들의 곱과 일치 $\det E_3 = 2.0 \times 5.0 \times 2.4 \times 47.25 = 1134.0$

$\Rightarrow$ 내장함수를 이용하여 행렬식 $\det A$를 계산한 것과 일치한다.

추가예제 1 두 행을 바꾸는 기본행연산과 행렬식

에제 3번의 행렬 $A$ $\Rightarrow$ $\det A = -60$

1행과 3행의 순서를 교환한다.

$$ R_1 \leftrightarrow R_3$$

행렬식 $\det E$를 계산.

추가예제 2 한 행에 0 아닌 상수를 곱하는 바꾸는 기본행연산과 행렬식

에제 3번의 행렬 $A$ $\Rightarrow$ $\det A = -60$

1행에 -3을 곱한다.

$$ (-3)R_1$$

행렬식 $\det E$를 계산.