8.1 행렬의 고유값 문제

60 days 전, namy0727 작성

8.1 행렬의 고유값 문제. 고유값과 고유벡터 구하기

 

예제 1 고유값과 고유벡터 구하기

행렬 $A$

A=matrix(QQ, 2, 2, [-5,2,2,-2]) print "A=" show(A) 
       
A=
A=

특성다항식 $D(t) = \det(A - t I)$

char=A.charpoly('t') show(char) 
       

특성방정식 $\det(A - t I) = 0$ $\Rightarrow$ 고유값.

eigval=A.eigenvalues() show(eigval) 
       

고유값 $t_1 = -1$에 대응하는 행렬 $A$의 고유벡터. $\Rightarrow$ $(A + I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 해공간.

T1 = A+identity_matrix(2) print "A + I =" show(T1) print "det(A + I)=", T1.det() show(T1.rref()) 
       
A + I =

det(A + I)= 0
A + I =

det(A + I)= 0

$(A + I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 영공간(해공간) 찾기.

x,y = var('x,y') eq1 = -4*x + 2*y == 0 eq2 = 2*x - y == 0 r=solve([eq1,eq2],x,y ) show(eq1) show(eq2) show(r) 
       


고유값 $t_2 = -6$에 대응하는 행렬 $A$의 고유벡터. $\Rightarrow$ $(A + 6I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 해공간.

T2 = A+6*identity_matrix(2) print "A + 6I=" show(T2) print "det(A + 6I)=", T2.det() show(T2.rref()) 
       
A + 6I=

det(A + 6I)= 0
A + 6I=

det(A + 6I)= 0

$(A + 6I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 영공간(해공간) 찾기.

x,y = var('x,y') eq1 = x + 2*y == 0 eq2 = 2*x + 4*y == 0 r=solve([eq1,eq2],x,y ) show(eq1) show(eq2) show(r) 
       


고유값 $t_1 = -1$에 대응하는 행렬 $A$의 고유벡터.

x1,x2=A.eigenvectors_right() show(x1) 
       

고유값 $t_2 = -6$에 대응하는 행렬 $A$의 고유벡터.

show(x2) 
       

예제 2 고유값과 고유벡터 구하기

행렬 $A$

A=matrix(QQ, 3, 3, [-2,2,-3,2,1,-6,-1,-2,0]) print "A=" show(A) 
       
A=
A=

특성다항식 $D(t) = \det(A - t I)$

char=A.charpoly('t') show(char) 
       

특성방정식 $\det(A - t I) = 0$ $\Rightarrow$ 고유값.

eigval=A.eigenvalues() show(eigval) 
       

고유값 $t_1 = 5$에 대응하는 행렬 $A$의 고유벡터. $\Rightarrow$ $(A - 5I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 해공간.

T1 = A-5*identity_matrix(3) print "A - 5I =" show(T1) print "det(A - 5I)=", T1.det() 
       
A - 5I =

det(A - 5I)= 0
A - 5I =

det(A - 5I)= 0

$A - 5I$의 행 사다리꼴

E1=T1.echelon_form() show(E1) 
       

$(A - 5I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 영공간(해공간) 찾기.

x,y,z = var('x,y,z') eq1 = x + z == 0 eq2 = y + 2*z == 0 show(eq1) show(eq2) r=solve([eq1,eq2],x,y,z) show(r) 
       


고유값 $t_2 = t_3 = -3$에 대응하는 행렬 $A$의 고유벡터. $\Rightarrow$ $(A + 3I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 해공간.

T2 = A+3*identity_matrix(3) print "A + 3I=" show(T2) print "det(A + 3I)=", T2.det() 
       
A + 3I=

det(A + 3I)= 0
A + 3I=

det(A + 3I)= 0

$A + 3I$의 행 사다리꼴

E2=T2.echelon_form() show(E2) 
       

$(A + 3I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 영공간(해공간) 찾기.

var('x,y,z') eq = x +2*y - 3*z == 0 show(eq) p=solve([eq],z) show(p) 
       

고유값 $t_1 = 5$에 대응하는 행렬 $A$의 고유벡터.

v1,v2=A.eigenvectors_right() show(v1) 
       

고유값 $t_2 = t_3 = -3$에 대응하는 행렬 $A$의 고유벡터.

show(v2) 
       

예제 3 대수적 다중도와 기하적 다중도. 부족지수가 양수인 경우

행렬 $A$

A=matrix(QQ, 2, 2, [3,2,0,3]) print "A=" show(A) 
       
A=
A=

행렬 $A$의 고유값과 고유벡터, 대수적 다중도와 기하적 다중도.

v=A.eigenvectors_right() show(v)